ベイズの定理を使う例題【病気にかかっている確率とモンティホール問題】

本記事では、ベイズの定理を具体的に使う方法を解説します。
例題を２つ用意しました。

• 病気にかかっている確率
• モンティホール問題

どちらも有名な問題で、ベイズの定理を知らないとまちがえてしまいます。
例題にベイズの定理を当てはめる方法を詳しく説明します。

ベイズの定理の公式

ベイズの定理は結果がわかったときに、原因を求める確率を計算することができます。
$B$ が結果で、$B$ の原因として $A_1$、$A_2$ の２つが考えられるとき、
$A_1$ が原因である確率は、以下の式で求めることができます。

$$P(A_1|B)=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}$$

原因と結果の関係を図で表すと、以下のようになります。

ベイズの定理の証明や、定理のイメージを理解したい方は、以下の記事をご覧ください。

統計・機械学習·2021.03.19ベイズの定理をわかりやすく解説！【証明を直感で理解する】ベイズの定理を見たとき、式の複雑さに圧倒されていませんか？ 本記事では、ベイズの定理の意味を図で詳しく解説します。はじめにベイズの定理の証明を順に解説しています。しかし、証明ではなかなかイメージできないので、具体例を使って、ベイズの定理を図で理解できるようにしました。

さて、本記事ではベイズの定理の使い方を、２つの例題で見てみます。

例題１　病気にかかっている確率

病気にかかっている確率を求める問題は、ベイズの定理を使う問題として非常に有名ですので、解法は覚えてしまうくらいが良いです。

「病気Aにかかっている人のうち90%が陽性と診断されるのだから、タロウ君が病気Aにかかっている確率は90%」と考えた方も多いのではないでしょうか。

直感的には 90% と思ってしまいますが、実は 90% ではありません。

なぜなら、病気Aにかかっている人は日本全体の 1% しかいないからです。

図を見ていただくと分かるように、病気Aでない人が圧倒的に多いので、
まちがって陽性と診断される(偽陽性)影響が無視できないからです。

ベイズの定理を使って解くのが正しいやり方になります。

病気Aにかかっている確率を $P(A_1)$、病気Aでない確率を$P(A_2)$、陽性と診断される確率を $P(B)$ とおくと、問題文から以下の確率が分かります。

• $P(A_1)=0.01$…病気Aにかかっている人が人口の 1%
• $P(B|A_1)=0.9$…病気Aにかかっている人のうち、陽性になる確率は 90%
• $P(B|A_2)=0.05$…病気Aでない人のうち、陽性になる確率は 5%

ベイズの定理の式に当てはめると解くことができます。

$$\begin{align} P(A_1|B)&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}\\ &=\frac{0.9\times 0.01}{0.9\times 0.01+0.05\times 0.99}\\ &=0.15 \end{align}$$

結果は 15% です。陽性と診断されたのに、実際に病気Aにかかっている確率は小さいと思いませんか？

陽性と診断されたからといって病気Aにかかったと決めつけるのではなく、冷静に判断することが大切です。

病気にかかっている確率の問題は、人間の直感と反するので、まちがえやすいです。

例題２　モンティホール問題

モンティホール問題も病気にかかる確率と同じく、人間の直感に反する問題です。

問題の状況設定がややこしいので、図を使って整理します。

たとえば、挑戦者が左の宝箱を選んだとします。
残った宝箱のうち、司会者は空の宝箱をオープンします。

たとえば、司会者が右の宝箱をオープンしたら、挑戦者は残った方の宝箱のどちらかを、もう一度えらび直すことができるということです。

最初にえらんだ宝箱を変更した方が良いのでしょうか？
ちょっと考えてみましょう。

…

…

…

答えは決まりましたでしょうか？
正解は「宝箱を変更した方がよい」です。

宝石はランダムに入れられてるから両方とも 50% じゃないの？

と思いますよね。私もはじめてモンティホール問題を解いたときは、同じように思いました。

両方とも 50% でない理由は、「同様に確からしくない」からです。

たとえば、最初に左の宝箱を選んだとき、左に宝石が入っている確率は 1/3 です。

司会者が中央の宝箱を開けても、右の宝箱を開けても、左に宝石が入っている確率は 1/3 で変わりません。

司会者が宝箱を開けたあとでは、宝箱は２つしか残っていませんから、宝箱を変更すると、確率は

$$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

となるのです。

…まだ納得できませんか？

ベイズの定理を使って確認してみましょう。

最初に左の宝箱を選んで、司会者が右の宝箱を開けたとします。
このとき、宝石が入っているのは、左または中央です。

• $P(A_1)$…左の宝箱に宝石が入っている確率
• $P(A_2)$…中央の宝箱に宝石が入っている確率
• $B$…司会者が右の宝箱を開けたという情報

ベイズの定理にあてはめると、司会者が右の宝箱を開けたときに、左の宝箱に宝石が入っている確率は、

$$\begin{align} P(A_1|B)&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}\\ &=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}}\\ &=\frac{1}{3} \end{align}$$

司会者が右の宝箱を開けたときに、中央の宝箱に宝石が入っている確率は、

$$\begin{align} P(A_2|B)&=\frac{P(B|A_2)P(A_2)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}\\ &=\frac{1\times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}}\\ &=\frac{2}{3} \end{align}$$

となって、宝箱を変更するほうが当たる確率が高くなります。

モンティホール問題は一度見たことがないと、まちがった答えを出してしまいます。

まとめ

本記事では、ベイズの定理を使いこなすために２つの例題を紹介しました。

• 病気にかかっている確率
• モンティホール問題

どちらも直感で答えるとまちがえます。
ベイズの定理は記号が多いので難しそうに感じますが、１つ１つの記号の意味を確認しながら計算すると、機械的に解くことができるので、とても便利です。

ぜひ使い方をマスターしましょう。