幾何平均と算術平均の違い

「平均」という言葉には馴染みがあると思いますが、平均には 3 種類あることはご存知でしょうか？

その 3 種類とは算術平均、幾何平均、調和平均です。

本記事では、算術平均と幾何平均の違いについて詳しく解説します。

幾何平均と算術平均の意味

算術平均とは

算術平均とは、「値そのものの平均」のことを指します。

5 つのデータ $x_1, x_2, \cdots, x_5$ があるとき、算術平均 $\bar{x}$ は次のように計算できます。

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$$

算術平均は、皆さんが日常生活で思い浮かべる「平均」と合致するのではないでしょうか。

ここで、後の幾何平均との違いを明確にするため、算術平均の計算式を変形します。

$$\begin{align} 5\bar{x}&=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5\\ \bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}+\bar{x}&=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 \end{align}$$

つまり、算術平均の和と、全部のデータの和が一致します。

幾何平均とは

幾何平均とは、「変化率の平均」のことを指します。

変化率が $r_1, r_2, \cdots, r_5$ と書けるとき、幾何平均 $r$ は次のように計算できます。

$$r=\sqrt[5]{r_1r_2r_3r_4r_5}$$

ここで、$\sqrt[5]{t}$ の記号は「5 乗根」と呼ばれ、

$$(\sqrt[5]{t})^5=t$$

という関係が成り立ちます。

さて、前節と同じように、幾何平均の式を変形してみます。
両辺を 5 乗すると、以下のように表されます。

$$r^5=r_1r_2r_3r_4r_5$$

この式を見ていただくと分かるように、幾何平均の積と、全部のデータの積が一致します。

つまり、算術平均と幾何平均の計算式の違いは、

• (算術平均の和)＝(データの和)

• (幾何平均の積)＝(データの積)

です。このように対応させると忘れにくくなります。

では、算術平均と幾何平均は実際にどのように使い分けられるのか、例を見てみましょう。

幾何平均と算術平均の使い分けの例

2 つの平均をどのように使い分けるのかを理解するため、次の例題を考えてみます。

「5 年間の商品の売上の平均」は算術平均で求めることができます。
「5 年間の商品の売上の変化率の平均」は幾何平均で求めることができます。

算術平均の求め方

算術平均は、5 年間の売上をならしたイメージです。

計算式に当てはめてみると、

$$\begin{align} \bar{x}&=\frac{32+42+38+35+45}{5}\\ &=38.4 \end{align}$$

となります。つまり、5 年間の売上の平均は 38.4 万円です。

幾何平均の求め方

幾何平均は、一定の割合で増えていく、というイメージで捉えると理解しやすいです。

各年の売上の変化率は上図のように、$(131\%,90\%,92\%,129\%)$ となります。
売上のデータは全部で 5 つありますが、変化率は 4 つになります。

幾何平均を計算すると、

$$\begin{align} r&=\sqrt[4]{131\times90\times92\times129}\\ &=109 \end{align}$$

つまり、 5 年間の平均変化率は 109%ということが分かります。

まとめ

本記事では、算術平均と幾何平均の違いを解説しました。
それぞれの意味は、

• 算術平均：値そのものの平均
  (算術平均の和)＝(データの和)

• 幾何平均：値の変化率の平均
  (幾何平均の積)＝(データの積)

です。
使う場面が異なりますので、正しく使い分けられるようになりましょう。