母分散既知の区間推定のやり方【公式の使い方を例題で解説】

「区間推定を求める公式の使い方が分からない」
「例題と少し問題が異なるだけで、計算できなくなる…」

本記事では、上記のような悩みを解決します。
公式の意味を確認したあと、例題を使って計算手順を一つずつ見ていきます。

母分散既知の場合の信頼区間の公式

母分散があらかじめ分かっている場合は、信頼区間を簡単に計算することができます。

$n$ 個のデータの平均値を $\bar{X}$、母平均を $\mu$ とするとき、信頼区間は下記の式で求めることができます。

$$\bar{X}-Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \bar{X}+Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

ただし、$\sigma$ は母標準偏差（母分散の平方根）、$Z$ は信頼係数によって変化する値です。
どのくらいの幅の信頼区間を計算するかによって、$Z$ は下表のように変化します。

信頼係数	$Z$ の値
90%	1.645
95%	1.960
99%	2.576

$Z$ の値は、標準正規分布で「中央の面積が信頼係数と等しくなる」ときの横軸の値です。
正規分布表から読み取ることもできます。読み取り方は正規分布表の見方【初心者向け】をご覧ください。

式の形を見ると、データの平均値 $\bar{X}$ を中心に、左右に同じ幅 $Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ をとった区間になっています。
信頼係数を大きくすると $Z$ が大きくなり、区間は広がります。反対に、データ数 $n$ を増やすと区間は狭くなります。

実際のデータを用いて、公式の使い方を見てみましょう。

例題で学ぶ公式の使い方

信頼区間を求める問題ですので、前節で紹介した公式を使うことができます。

$$\bar{X}-Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \bar{X}+Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

この公式を使うためには、下記の値が必要になります。

• データの平均値：$\bar{X}=51.5$
• 母分散：$\sigma^2=6.0$
• データ数：$n=10$
• $Z$ の値：$Z=2.576$（信頼係数99%）

これらの値を代入すると、

$$51.5-2.576\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\leq \mu \leq 51.5+2.576\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$$

単に代入しているだけに見えますが、1つだけ注意点があります。
公式の中の $\sigma$ は、母分散の平方根です。この例題では母分散が 6.0 ですので、公式に代入するときには $\sigma=\sqrt{6}$ を入れています。
母分散の代入は間違えやすいので、慎重に行ってください。

さて、数値を代入しましたので、計算すると信頼区間が下記のように求められます。

$$49.5 \leq \mu \leq 53.5$$

このように、数値を代入するだけで信頼区間を求めることができます。

計算手順のまとめ

母分散既知の区間推定は、次の4つの手順で計算できます。
問題の形が少し変わっても、この手順に当てはめれば迷わずに計算できます。

1. データの平均値 $\bar{X}$ を求める（問題文で与えられていることもあります）
2. 母分散の平方根をとって $\sigma$ を求める（母分散 $\sigma^2$ をそのまま入れない）
3. 信頼係数から $Z$ の値を決める（90%なら1.645、95%なら1.960、99%なら2.576）
4. 公式に代入して、幅 $Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算し、平均値から引いた値と足した値を求める

特に間違えやすいのは手順2です。問題文に「母分散」と書かれているのか「母標準偏差」と書かれているのかを必ず確認しましょう。

母分散が分からない場合は

実際の分析では、母分散が分かっていることはあまりありません。
母分散が未知の場合は、$Z$ の代わりに $t$ 分布の値を使い、$\sigma$ の代わりにデータから計算した標準偏差を使います。
詳しくは下記の記事をご覧ください。

統計・機械学習·2021.03.04母分散未知のときの区間推定の解き方「母分散が未知のときの区間推定は、どうやって解けばいいの？」 こういった悩みを抱えていませんか？ 実は、母分散未知の区間推定には公式が存在し、すぐに計算することができます。 この記事では、区間推定のやり方を具体例を使って解説します。母分散既知の場合よりも計算量が多いですが、ぜひ公式の使い方をマスターしましょう。 統計・機械学習·2021.03.05母分散既知と未知で何が違う？【信頼区間】信頼区間を計算するときに、「母分散が既知・未知とかいてあるけど、何が違うの？結果にどう影響するの？」と思ったことはありませんか？本記事では、母分散が分かっているとはどういうことかを解説します。信頼区間の計算結果は異なりますが、計算式の形は似ているので、まとめて覚えてしまうとラクです。

まとめ

本記事では、母分散既知の信頼区間の計算方法を解説しました。
母平均は以下のように区間推定されます。

$$\bar{X}-Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq \bar{X}+Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

公式に代入するときは、$\sigma$ が母分散の平方根であることと、信頼係数に合った $Z$ の値を使うことに注意しましょう。