分散の性質の一覧と証明

分散の計算を行うときに、よく使われる性質をまとめました。

期待値には線形性が成り立っていますが、分散では成り立ちません。
そのため、期待値の性質と比べると覚えにくいですが、証明は難しくないので、一度証明できるようになれば忘れることは少なくなると思います。

それでは、分散の性質を見ていきましょう。

分散の性質

分散で重要となる性質は以下の3つです。
確率変数を $X$、定数を $c$、分散を $V(X)$ と書いています。

1. $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
2. $V(X+c)=V(X)$
3. $V(cX)=c^2 V(X)$
4. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$

上記の1.は分散を計算するときに使われる式です。分散は定義通りに計算するよりも、1.の式を使って計算する方が簡単になる場合が多いです。

2.と 3.は分かりづらい式となっていますが、これは分散の定義式に2乗が入っているためです。
証明を行うとはっきりします。

4.については共分散を使います。4.の証明は下記記事で解説しています。

性質1.~4.はどれも重要ですが、期待値の性質と比べると直感的には分かりづらいです。

幸いにも、分散の性質の証明方法は難しくないので、証明の中身を見ていただくと記憶に残りやすいです。

それでは、証明を見ていきましょう。

分散の性質の証明

まず初めに、分散の定義を確認しておきます。

$$V(X)=E(X-E(X))^2$$

分散の証明では、この定義を頻繁に使用します。

まず、性質1.の証明からです。

$$\begin{align} 1. V(X)&=E(X-E(X))^2\\ &=E(X^2-2XE(X)+(E(X))^2)\\ &=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X))^2\\ &=E(X^2)-(E(X))^2\\ \end{align}$$

2行目から3行目の式変形ですが、期待値の線形性を利用しています。また、2行目第3項は

$$E(E(X)^2)=(E(X))^2$$

と式変形して$E$が一つ消えていますが、これは$E(X)^2$は定数であるためです。$X$は変数ですが、$E(X)$は定数なので注意が必要です。
(筆者も最初はつまづきました。)

続いて2.の証明に移ります。

$$\begin{align} 2. V(X+c)&=E(X+c-E(X+c))^2\\ &=E(X+c-E(X)-c)^2\\ &=V(X)\\ \end{align}$$

2.の計算のコツとしては、2乗を展開しないことです。もし展開してしまうと計算量が非常に多くなってしまいます。

最後に性質3.の証明を示します。

$$\begin{align} 3. V(cX)&=E(cX-E(cX))^2\\ &=E(cX-cE(X))^2\\ &=(c E(X-E(X))^2\\ &=c^2 V(X)\\ \end{align}$$

3.でも2乗は展開せずに計算しています。

性質4.

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$$

の証明については、共分散の性質の中で示していますので、そちらをご覧ください。

以上で分散の4つの性質の証明を終わります。

特に性質1. の証明で示した「$E(X)$ は定数」というのが間違えやすいポイントですので、注意してください。

まとめ

本記事では、分散の性質を紹介しました。

分散の性質でよく使われるのは以下の4つです。

1. $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2$
2. $V(X+c)=V(X)$
3. $V(cX)=c^2 V(X)$
4. $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$

期待値の性質と比べるとパッとは覚えられませんが、調べればすぐに分かるので、無理に覚える必要はありません。

分散の性質の証明の中にも、様々な計算テクニックが盛り込まれているので、一度自力で計算してみることをオススメします。

以上、分散の性質の一覧と、その証明でした。